基本統計量の計算問題 解答・解説
問題 1
ある生徒5人が受けた小テストの点数が {10, 5, 8, 5, 7} でした。このデータセットの平均値、中央値、最頻値をそれぞれ求めてください。
解答
平均値: 7点
中央値: 7点
最頻値: 5点
解説
平均値: 全てのデータの値を足し合わせ、データの個数で割ります。
(10 + 5 + 8 + 5 + 7) / 5 = 35 / 5 = 7
中央値: データを小さい順に並べ、中央に位置する値を探します。
データ: {5, 5, 7, 8, 10}
中央に位置するのは 7 です。
最頻値: データの中で最も頻繁に出現する値です。
5 が2回出現しており、最も多いため最頻値となります。
問題 2
標本として集めた、あるクラスの生徒10人の身長データ (cm) が以下の通りです。
{155.2, 162.5, 158.9, 170.1, 165.3, 159.8, 166.7, 155.2, 168.0, 163.3}
このデータの平均値、分散、標準偏差を求めてください。
解答
平均値: 162.5 cm
分散: 26.8
標準偏差: 5.2 cm
解説
平均値: 全ての身長を合計し、人数（10）で割ります。
(155.2 + 162.5 + … + 163.3) / 10 = 1625.0 / 10 = 162.5
分散: 標本データの場合、各データの値と平均値との差（偏差）を2乗し、それらを合計したもの（偏差平方和）を（データ数－1）＊自由度で割ります。
偏差の2乗の合計:（偏差平方和）
(155.2-162.5)² + (162.5-162.5)² + … + (163.3-162.5)²
= (-7.3)² + (0)² + … + (0.8)²
= 53.29 + 0 + 12.96 + 57.76 + 7.84 + 7.29 + 17.64 + 53.29 + 30.25 + 0.64 = 240.96
分散の計算: 240.96 / (10-1) = 26.77
26.77 ≈ 26.8
標準偏差: 分散の正の平方根です。
√26.8 ≈ 5.177…
小数点第2位を四捨五入すると 5.2 となります。
正規分布の確率計算問題
これらの問題を解くには、まず与えられた値を標準正規分布（平均 0、標準偏差 1）に変換するための「標準化」という作業が必要です。
標準化の式は以下の通りです。
Kp = (X – μ) / σ
ここで、Xは測定値、μは平均、σは標準偏差です。
問題 3：製品の重量
条件：平均 μ = 500, 標準偏差 σ = 5, X ≤ 508 となる確率
- 標準化：
Kp = (508 – 500) / 5 = 8 / 5 = 1.6
- 正規分布表から確率を求める：
Kp値1.6の上側確率は、正規分布表より「0.0548」
問題で求めている確率は Kp≤1.6ですので、1 – 0.0548 = 0.9452となります。
解答：約 94.5%
問題 4：最高血圧
条件：平均 μ = 125, 標準偏差 σ = 10, X ≧ 110 となる確率
- 標準化：
Kp = (110 – 125) / 10 = -15 / 10 = -1.5確率を求める
- 正規分布表から確率を求める：
正規分布は左右対称なので、Kp＝-1.5 は Kp＝1.5 と同じ値になります。
Kp値1.5の上側確率は、正規分布表より「0.06681」
問題で求めている確率は Kp≤ = 1.5ですので、1 – 0.06681 = 0.9331… 約 0.9332 です。
解答：約 93.3%
問題 5：資格試験の得点
条件：平均 μ = 70, 標準偏差 σ = 15, 60 ≤ X ≤ 95 となる確率
- 標準化（2箇所）：
-
- X = 60 のとき：Kp1 = (60 – 70)/15 = -10/15 ≈ -0.67
- X = 95 のとき：Kp2 = (95 – 70)/15 = 25/15 ≈ 1.67
範囲の確率を計算：
求める確率は Kp -0.67 以上 1.67以下です。
-
- Kp 1.67以下 = 1 – 0.04746 = 0.9525…$
- Kp -0.67以上 = 0.25143…
- 0.9525 – 0.2514 = 0.7011
解答：約 70.1%
問題 6：不良品の抽出（反復試行の確率）
条件：試行回数 n=5、成功確率 p=0.1（不良品が出る確率）、求める成功回数 r=2
この問題は、二項分布の確率の公式
P(X=r) =nCr x pr x (1-p)n-r
を使用します
式を立てる：
P(X=2) =5C2 x (0.1)2 x (1-0.1)5-2
計算する：
-
- 5C2 = 5!/2! x (5-2)! = 5x4x3x2x1/2x1x(3x2x1) = 10
- (0.1)2 = 0.01
- (1-0.1p)5-2 = (0.9)3 = 0.729
- 10 x 0.01 x 0.729 = 0.0729
- 小数点以下第4位を四捨五入 = 0.073
解答：7.3%
問題 7：クイズの正解確率
条件：試行回数 n=4、成功確率 p=1/4=0.25
「3問以上正解」なので、3問正解と4問正解の確率を合計します
3問正解する確率：
P(X=3) =4C3 x (0.25)3 x (1-0.25)4-3
= 0.046875
4問正解する確率：
P(X=4) =4C4 x (0.25)4 x (1-0.25)4-4
= 0.00390625$
合計する：
0.046875 + 0.00390625 = 0.05078125
解答：約 5.1%
問題 8：フリースローの期待値と分散
条件：試行回数 n=100、成功確率 p=0.7
二項分布 B(n, p) における期待値 E(X) と分散 V(X) の公式を使います。
- 期待値：E(X) = np
- 分散：V(X) = np(1-p)
期待値の計算：
E(X) = 100 x 0.7 = 70
（100回投げれば、平均的に70回成功するという意味です）
分散の計算：
V(X) = 100 x 0.7 x (1 – 0.7)
= 100 x 0.7 x 0.3 = 21
解答：期待値 70、分散 21
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