QC検定2級®手法編　練習問題②解答・解説

仮説検定 – 2つの母平均の差に関する検定と推定 　解答・解説

問題 1（母分散既知）

2つのブランドの寿命の母平均に差があるか、有意水準5%で検定。

(H₀: μₐ=μᵦ, H₁: μₐ≠μᵦ)　両側検定

  • 解答: 差があると言える。
  • 解説
    1. 標準正規分布を用います。（母分散既知のため）
    2. 検定統計量（Z）を計算します。
      検定統計量  Z = (X̄ₐ – X̄ᵦ) / √(σ²ₐ/nₐ + σ²ᵦ/nᵦ) = (1020 – 980) / √(40²/30 + 50²/40)
      = 40 / √(1600/30 + 2500/40) = 40 / √(53.33 + 62.5) = 40 / √115.83 ≈ 40 / 10.76 ≈ 3.72
    3. 両側検定、有意水準5%なので、棄却域は |Z| > 1.96（標準正規分布表の確率2.5％<0.025>にあたるKpが1.96）
    4. 計算したZ値 3.72 は 1.96 より大きいので、帰無仮説 H₀ は棄却されます。
    5. したがって、2つのブランドの寿命の母平均に差があると言えます。

 

標準正規分布表（上側確率）
仮説検定

 

問題 2（母分散未知/等分散）

指導法Aのほうが成績が高いか、有意水準5%で片側検定。 (H₀: μₐ=μᵦ, H₁: μₐ>μᵦ)

  • 解答: 成績が高いと言える。
  • 解説
      1. 指導法A (nA = 6, X̄A = 85)　偏差平方和SA = (92-85)2 + (88-85)2 + (85-85)2 + (84-85)2 + (81-85)2 + (80-85)2 = 49 + 9 + 0 + 1 + 16 + 25 = 100
      2. 指導法B (nB = 7, X̄B = 78)　偏差平方和SB = (95-78)2 + (84-78)2 + (80-78)2 + (78-78)2 + (75-78)2 + (70-78)2 + (64-78)2 = 289 + 36 + 4 + 0 + 9 + 64 + 196 = 598
  • 自由度Φ　nA + nB – 2 =6 + 7 -2 = 11
  • 検定統計量t0 ≧ t(11, 0.10) = 1.7o6
  • プールした分散 V
  • V = ( SA + SB )/( nA + nB – 2 ) = (100 + 598) / (6 + 7 -2) ≈ 63.45
  • t値を計算します。
    t = (X̄A – X̄B) / √V * (1/nA 1/nB)) = (85 – 78) / √(63.45 * (1/6 + 1/7))
    = 7 / √(63.45 * 0.3095) = 7 / 4.43 ≈ 1.58
  • 片側検定、有意水準5%、自由度20のt値は t(20, 0.05) = 1.725
  • 計算したt値 1.58 は 1.725 より小さいので、帰無仮説 H₀ は棄却されません。
  • したがって、指導法Aのほうが成績が高いとは言えません。
ｔ表
仮説検定

 

 

 

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